三维螺旋弯管的建模

    较大直径的三维弯管，广泛应用于锅炉蒸汽管网、冷气及通风通道、化工石油、天然气长输管线、水电站引水系统等。近年来我国金属五金制造业有了迅猛发展，但是大直径的弯管制造仍是弯管机所不能胜任的。据了解，我国上海某家大型螺旋钢管制造公司，使用世界先进的中频弯管技术也只能制造钢管直径不大于500mm的弯管。而焊接程控技术的发展和普及为使用钢板制造大直径弯管提供了方便。问题是如何解决大直径三维弯管较高精度的近似展开，如何实现CAD/CAM一体化设计制造，准确、高效、经济、方便地制造大直径弯管。为此，使用MATLAB语言进行研究探讨是有益的， MATLAB语言不仅仅是"矩阵实验室"，它在国际科学界，尤其是在自动控制领域具有相当的影响力，从支持概念设计、算法开发到建模仿真，都为拟解决弯管三维空间的坐标变换与交线的函数关系等问题创造了理想的集成环境，从而实现CAD/CAM一体化的设计制造。
   

    1 设计思路
   
    以前关于弯管的研究大都集中在二维管道，或者二维管道的组合(如图1所示)。然而把三维螺旋弯管(如图2所示)作为一个整体来研究，并考虑其工艺制造的可能性，一直以来都是人们不断深入探讨的问题。从画法几何内切球的角度把握设计过程，目的是使弯管中的任何交线都必须准确生成平面曲线-椭圆，同时可以保证弯管中的任何一个管件都是圆柱，避免出现椭圆柱的情况。
   
    具体操作为:画出初始管道的内旋内切球，定出分段数，根据计算的各段的旋转角度及几何关系，画出平面俯视图。在这种情况下建立数学模型，利用线性代数空间坐标变换以及画法解析几何的方法，对交线性质进行研究，依据所建数学模型编写MATLAB，求出以任意内径及螺旋角度、任意节(段)、任意导程设计的三维螺旋弯管的展开坐标以及函数关系。若与UG/CAD结合，通过CAD/CAM集成系统，即可生成焊缝代码文件，实现自动下料及焊接加工。
   
    2数学模型的建立及求解
    
    设所研究的弯管如图2所示，建立如图所示的坐标系，R1为内螺旋内切圆半径，R为圆管的半径，H为螺旋导程，T为旋转角(这里用弧度来表示)，N为所选择的分段数，R1, R,H、T、N均为选择的参数，可通过交互式任意调整以上参数。

     初始方程是：
   

    坐标旋转矩阵如下:
    ·绕Y轴旋转(其中δ为负数时逆时针旋转，δ为正数时顺时针旋转)

    ·绕X轴旋转(其中γ为负数时逆时针旋转，γ为正数时顺时针旋转)