精轧机温度模型有限差分算法的应用

    前言

 

    在精轧机自动轧钢控制系统中，二级系统（Level2）是整个系统的控制中枢，一般包括温度模型、物料跟踪模型、预计算模型、轧制模型等多个控制模型组成，其中温度模型的任务是在钢板轧制时准确的跟踪温度的分布状态。该温度模型应用Crank-Nicolson（柯兰克-尼克尔森）隐式有限差分方法来计算钢板温度的变化，这个方法要依赖给出的隐含层节点数，在空间域和时间域中进行大量精深的计算，因此它比一般的显示计算方法具有无条件稳定性的优势。

 

    1、钢板在轧制过程中热传递的影响因素

 

    钢板在轧制过程中逐渐降温，钢板的温度传递主要有以下6个方面的影响，这几个影响因素都作为模型方程计算中的子项存在：

 

    1.1除鳞箱对温度影响 

     

    钢坯出炉后，首先要进入除鳞箱进行表面的除鳞，去掉氧化铁皮等杂质。其在除鳞箱中温度的传递方式主要是传导，温度的传递系数主要依赖于喷在钢板上的水量的大小，其环境温度就是水的温度。

 

    1.2辊道对温度影响 

    

    钢板在辊道上前行，其温度消耗在辊道上的分布（钢板的下表面）主要表现为传导和辐射的结合。相关辐射量的计算要考虑到辊道区域的辐射反射等，其环境温度是空气的温度。 

 

    1.3空气对温度影响

   

    空气的热传递（钢板的上表面）主要表现为传导和辐射的结合，其环境温度是空气温度。

 

    1.4轧机机架除鳞对温度影响

    

    轧机机架除鳞的温降算术计算同除鳞箱一样。

 

    1.5中间冷设备对温度影响

    

    中间冷设备的温降计算同除鳞箱一样。

 

    1.6轧辊对温度影响

 

    轧辊的热传递主要表现为热传导。传导系数根据轧辊材质、氧化铁皮和轧辊磨损的状况等综合条件计算得出，其环境温度是轧辊的表面温度。

 

    2、温度模型的设计与分析

 

    2.1热传导方程的应用

 

    热传导方程是一个重要的偏微分方程，它描述一个区域内的温度如何随时间变化，是傅里叶冷却律的一个推论。众所周知，热流是能量流的一种形式，表示为单位时间内流进空间中一块区域的热量。因为钢板的长和宽比厚度要大许多，根据几何学的关系得到热流的一个假设，将热流问题简化为一维热方程（厚度方向的热传导），它包括空间因子和时间因子，因此相应的Crank-Nicolson热方程可以如下描述：

 

    --(公式1)

 

    km-热传导率，--物料的内热源，T-温度，m-物料密度，cm-比热容，x-节点到上表面的距离，t-时间

 

    2.2温度模型的计算及修正

 

    热流在上下表面同时存在，钢板温度的分布跟踪可以依据Crank-Nicolson有限差分方法来计算。假设热流量在钢板中心部分为零，并且钢板的上下表面具有足够的对称性，这样就可以将上下表面分开独立进行计算，目的是将钢板中心温度的计算执行下表面一样。同时，为了得到方程的唯一解，必须指定表面温度的边界条件。一般情况Crank-Nicolson有限差分方程中，用于数值求解热方程以及形式类似的偏微分方程时，它在时间方向上（是隐式的二阶方程，数值稳定。如图1所示，钢板在厚度方向可以分成N个节点，即分成N-1层，每一层为x。每个节点连接着上表面和下表面的分层。
 

 

图1：Crank-Nicolson数值分析法 

 

    hu-上表面热传导系数，hl-下表面热传导系数，qu- 上表面外部热流，ql- 下表面外部热流，Teu-上表面环境温度，Tel-下表面环境温度，N-隐含层节点数

 

    2.2.1 钢板内部节点的温度计算

 

    对于当前时间步j，钢板内部节点的Crank-Nicolson 方程如下：

 

    ---(公式2)

 

    Fo-傅里叶级数， x-节点间的距离，km-热传导率，-物料的内热源，Tij-节点i在时间步j时的温度

 

    2.2.2 钢板上表面节点的温度计算

 

    上表面的边界条件如下：

 

    --- (公式3)

 

    对于时间步j，上表面节点的 Crank-Nicolson 方程如下：

 

    --- (公式4)

 

    hu-热对流系数， qu-上表面热流量，Biu-上表面毕奥数，Teu-上表面环境温度

 

    2.2.3 钢板下表面温度节点的计算

 

    同上表面的节点计算相似，Crank-Nicolson方程得到下表面节点方程如下：

 

    --- (公式5)

 

    ql -上表面热流量，Bil-下表面毕奥数，Tel -下表面环境温度

 

    由此可见，上述计算中对于在当前时间步节点的计算，Crank-Nicolson隐式差分方程不仅依赖于前一时间步的温度，同时也依赖于当前时间步的相邻节点。这个联立方程式的结果必须要解决每个时间步的计算，特别是解决计算效率的问题。其稳定性表现在Crank-Nicolson方法对于所有的x（空间步长） 和 t（时间步长）都是稳定的。这些节点数N和x是固定的，通常时间步长t的选择依赖于热流的大小，越高的热流区域其时间步长就越小，如厚度轧制变形时或者是除鳞箱冷却时的时间步长就较小，而空气冷却的时间步长就较大。